érintkezéseknél

Az érintkezéseknél a geometriai érintkezés olyan találkozási állapotot jelent, amikor két görbe vagy görbe és egyenes egy pontban érinti egymást úgy, hogy közös érintőjük van. Az érintkezési pontot általában P-val jelöljük, és az érintő vonal (tangent) közös tulajdonsága, hogy a két görbe helyben ugyanarra a érintőre osztozik.

Típusok és jelölés

- Egyszerű érintkezés: az érintkezés elsőfokú. A görbék érintői a P pontban megegyeznek, de a találkozás nem feltétlenül igényli a görbület azonosítását.

- Osculációs (másodfokú) érintkezés: a görbék elsőrendű érintése mellett a görbületek is súrolják egymást; a közös érintő mellett a pontban a görbék „oszkoltatják” egymást.

- N-ed fokú érintkezés: a görbék közös érintője több rendű érintést is magában hordoz, az érintkezés rendje határozza meg a közös deriváltak egyezőségét.

Matematikai megközelítés

Két görbe legyen F(x,y)=0 és G(x,y)=0. P legyen olyan pont, hogy F(P)=0 és G(P)=0. Ha a P-ban a gradientek ∇F(P) és ∇G(P) lineárisan egymásra vezethetők, akkor a görbék érintik egymást a P pontban. Az érintkezés multiplicitása (mely az érintkezés rendjét is adja) nagyobb lehet 1-nél.

Példa

Egy kör és egy egyenes érintkezése: legyen a kör x^2+y^2=r^2 és az y=mx+b egyenes. A távolság a kör középpontjától az egyenesig |b|/√(m^2+1) = r, amely a tangenciát adja. Alkalmazások közé tartozik optika, tervezés és számítástudomány.

A fogalom fontos része a kölcsönös észlelésnek, a pontos érintkezési rend meghatározása pedig a görbeillesztés és a geometriális analízis alapja.