ytterpunkterna

Ytterpunkter är en matematisk term som oftast används inom konvex geometri och funktionalanalys för att beskriva särskilda punkter i en konvex mängd. En punkt x i en konvex mängd C sägs vara en ytterpunkt om den inte kan uttryckas som en icke-trivial konvex kombination av två olika punkter i C: om x = λy + (1−λ)z med 0<λ<1 och y,z ∈ C följer att y = z. Mängden av ytterpunkter i C betecknas ofta ext(C).

Exempel: i ett slutet intervall [a,b] i ℝ är a och b ytterpunkter. I en konvex polygon är ytterpunkterna dess hörn (vertexer). I en sluten disk i planet är däremot alla punkter på randcirkeln ytterpunkter. Skillnaden mellan ytterpunkt och randpunkt är att randpunkter kan vara kombinationer av andra punkter, medan ytterpunkter inte kan det.

Ytterpunkter har central betydelse i teorier om konvexa mängder och optimering. Krein–Milman-satsen i topologiska vektorrum säger att varje kompakt konvex mängd i ett lokalt konvext rum är den slutna konvexa omslutningen av sina ytterpunkter, vilket gör dem till byggstenar för sådana mängder. Relaterade begrepp är exponerade punkter (points som tangeras av ett stödjande hyperplan) och extremaliteter i optimeringsproblem, där optimala lösningar ofta finns vid ytterpunkter.