vastefunktiolla

Vastefunktio (impulse response) kuvaa lineaarisen ja aika-invariantin (LTI) järjestelmän vasteen sille syötteelle, joka on impulsi δ(t) kontinuumissa tai δ[n] diskreetissä. Toisin sanoen h(t) tai h[n] määrittelee, miten järjestelmä reagoi impulssiin. Järjestelmän ulostulo y(t) tai y[n] voidaan laskea konvoluutiolla: continuous-time y(t) = ∫ x(τ) h(t−τ) dτ, discrete-time y[n] = ∑_{k=-∞}^{∞} x[k] h[n−k].

Vastefunktio on eräin perustava kuvaus järjestelmän käyttäytymisestä: sen avulla voidaan päätellä, miten mikä tahansa syöte tai signaali muuttuu, kunhan järjestelmä pysyy LTI-nä. Taajuusdomiinissa vaste liittyy siirtokerroin H(ω) tai H(s) Laplace-tilassa sekä Z- tai DTFT-muunnoksilla: Y(ω) = X(ω) H(ω), Y(s) = X(s) H(s), Y(z) = X(z) H(z). Tämä mahdollistaa sekä analyysin että suunnittelun esimerkiksi suodattimille.

Ominaisuudet ja vakaus: Järjestelmä on causer tai ei, riippuen siitä, onko h(t) nolla ennen aikaa nolla (causal). BIBO-stabiilius tarkoittaa, että pienetkin syötöt tuottavat rajoitetun vasteen; continuous-time: ∫ |h(t)| dt < ∞, discrete-time: ∑ |h[n]| < ∞.

Mittaus ja identifiointi: vaste saadaan mittaamalla järjestelmän vaste impulssille tai identifioimalla vasteen avulla käyttäen tunnettuja syötteitä ja mitattua lähtöä. Vasteen tunteminen mahdollistaa minkä tahansa muun syötteen ennustamisen konvoluution kautta.

Esimerkkejä: RC-verkko tuottaa h(t) = (1/RC) e^{−t/RC} u(t) continuous-time -mallissa. Diskreetissä ajassa vastaava h[n] voi olla h[n] = (1−α) α^n u[n], 0<α<1. Vastefunktio on keskeinen käsite signaali- ja järjestelmäanalyysissä sekä suunnittelussa.