variatsioonianalüüsi

Variatsioonianalüüs on matemaatika haru, mis tegeleb optimaalse lahenduse leidmise ja tasakaalu probleemidega, kasutades variatsiooniprintsiipe ning üldistatud derivate ja set-valued mappumiste teooriat. See võimaldab kirjeldada ja lahendada probleeme, kus eesmärk või piirangud võivad olla mittelineaarsed, mittesiledad või mittetäielikult kirjeldatavad klassikalise diferentsiaalanalüüsi raames.

Peamised võtmeteemad hõlmavad üldistatud derivaate ja konnaaalseid konstruktsioone, mis annavad tingimused optimaalse tulemuse leidmiseks ebamäärastes või mitmetähenduslikes olukordades. Variatsioonianalüüs ühendab ja laiendab konveksanalüüsi ning mitmesuguste mitte-smoothsete probleemide teooriat, pakkudes mittelineaarsete ja set-valued probleemide lahendamise üldisi meetodeid. Selle valdkonna eesmärk on mõista lahenduste struktuuri ning kirjeldada, milliseid tingimusi on vaja, et lahendused oleksid optimaalsed.

Seosed teiste valdkondadega on tihedad: variatsioonianalüüs toimib teoreetilise alusena mitmesugustele optimeerimis- ja tasakaaluprobleemidele ning on mõjutatud nii lihtsatest kui keerukatest süsteemidest, sealhulgas konveksanalüüsist, mehhaanikast ja kontrolliteooriast. Tüüpilised rakendused hõlmavad inseneriteaduseid, majandust, operatsioonide uuringuid, image-töötlust ja majanduslikke mudelde, kus ebakindlus ja mittelineaarsus on lõppsihtprobleemide lahutamatud osad.

Ajalugu ulatub 20. sajandi keskpaigast ning on jätkanud arengu konveksanalüüsi ja mittelineaarsete probleemide teooriate integreerimise kaudu. Tänapäeval on variatsioonianalüüs interdistsiplinaarne tööriistakast, mida kasutatakse nii teoreetilises kui rakenduslikus kontekstis.