trekantlikheten

Trekantlikheten er en grunnleggende regel i geometri og analyse som gjelder for avstander. Den sier at avstanden mellom to punkter ikke kan være større enn avstanden fra det første punktet til et tredje punkt pluss avstanden fra det tredje til det andre. Mer formelt: i et rom X utstyrt med en metrikk d, gjelder d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) for alle x, y, z i X. Denne ulikheten er en av de tre grunnleggende egenskapene som definerer en metrikk, og den gir en universell grense for hvor stor en avstand kan være når man går via et mellompunkt.

I Euklidsk rom, som ℝ^n med standard avstand d(u,v) = ||u − v||, følger trekantlikheten direkte fra definisjonen av lengde og avstander. Den har flere viktige konsekvenser og anvendelser: den gjør det mulig å estimere avstander via mellompunkter, og den ligger til grunn for konvergensbegreper og stabil beregning i analyse og i mange algoritmer, særlig i måling og sammenligning av avstander.

Når man ser på trekantens sidelengder a, b og c i et Euklidsk trekkantbilde, er det også sant at hver side er mindre enn summen av de to andre: c < a + b, a < b + c og b < a + c. Samtidig må hver side være større enn forskjellen mellom de to andre: c > |a − b|, og så videre. Disse formuleringene viser hvordan trekantlikheten forbinder avstander og sidelengder i geometriske kontekster.

Likhetsbetingelsen d(x,z) = d(x,y) + d(y,z) oppstår når y ligger på en korteste sti mellom x og z, for eksempel når x, y og z er kollineære med y mellom x og z. Dette markerer tilfeller av oppnådd likevelhet i avstandene.