transcendentaalsete

Transcendentaalsed arvud on reaalarvud või kompleksarvud, mis ei ole lahendused ühegi mitte-null polünoomi võrrandi korral, mille koefitsientideks on täisarvud. Selline omadus eristab neid algebralistest arvudest, mis on täpselt need arvud, mida rahuldab mõni selline polünoom. Olulised näited transcendentaalsetest arvudest on pi (π) ja ehk (e); mõlemad on transcendentaalsed.

Omadused: enamus reaalarvudest on transcendentaalsed, samas algebralised arvud moodustavad loendatava hulga. Teisisõnu, palju kui algebralisi arve on väike ja struktureeritud kild, on transcendentaalseid arve väga palju ning nende täpne kirjeldamine on keeruline.

Ajalugu ja tulemused: transcendentsuse idee süstematiseerisid 19. sajandil matemaatikud. Liouville konstrueeris esimese teadaoleva eksplicitse transcendentaalse numbri. Hiljem tõestasid Hermite, et number e on transcendentaalne, ning Lindemann–Weierstrass teoreem näitab, et π on transcendentaalne. Need tulemused kinnitasid, et teatud olulised irratsionaalsed arvud ei rahuldu ühegi polünoomi koefitsientidega täisarvud.

Tähtsus: transcendentsus mängib olulist rolli numberteoorias ja analüüsis, aidates eristada algebraalseid arve ning mõista arvude struktuuri, piiranguid ja kogumite suurusi. Teema uurimine jätkub, et paremini mõista, millised arvud on transcendentaalsed ja kuidas neid teoorias ja rakendustes kasutada.