tilavektoriyhtälö

Tilavektoriyhtälö on matemaattinen käsite, jota käytetään kuvaamaan fysikaalisen järjestelmän tilaa ajan funktiona. Se on tyypillisesti differentiaaliyhtälö, joka määrittelee tilavektorin aikaderivaatan. Tilavektori sisältää kaikki ne muuttujat, jotka tarvitaan järjestelmän tilan täydelliseen kuvaukseen.

Tilavektoriyhtälöitä käytetään laajasti eri aloilla, kuten fysiikassa, insinööritieteissä ja taloustieteissä. Esimerkiksi mekaanisissa järjestelmissä tilavektori voi sisältää kappaleen paikan ja nopeuden, ja tilavektoriyhtälö kuvaa, miten nämä ominaisuudet muuttuvat ajan myötä ulkoisten voimien vaikutuksesta. Sähkötekniikassa tilavektori voi kuvata kondensaattorien ja kelojen jännitteitä ja virtoja, ja tilavektoriyhtälö kuvaa, miten nämä suureet kehittyvät piirin toiminnan aikana.

Yksinkertaisimmillaan tilavektoriyhtälö voi olla muotoa dx/dt = Ax, missä x on tilavektori ja A on matriisi, joka kuvaa järjestelmän dynamiikkaa. Yleisemmin yhtälö voi olla epälineaarinen ja sisältää myös ulkoisia syötteitä. Tilavektoriyhtälön ratkaiseminen antaa kuvan järjestelmän käyttäytymisestä eri alkuehdoilla ja ajan kuluessa. Analyyttinen ratkaisu on mahdollinen yksinkertaisille lineaarisille järjestelmille, mutta monimutkaisempia järjestelmiä varten käytetään usein numeerisia menetelmiä ratkaisujen arvioimiseksi.