terméktopológiája

A terméktopológia (angolul product topology) a több topologikus tér lazán összefűződését leíró topológia, amely a cartesian termékekre, például X × Y vagy általánosabban ∏_{i∈I} X_i, értelmezett. A terméktopológia a leggyengébb olyan topológia, amely biztosítja, hogy a projekciók π_i: ∏_{i∈I} X_i → X_i mind folytonos legyenek. Ezzel a konstrukcióval a termékekben jól viselkednek a projekciók és a konvergencia is.

A bázis és a közbázis. Finomabb értelemben a két tényezős termékeknél az alaphalmazokat a nyílt U ⊆ X és V ⊆ Y képezik, és a bázis elemei az U × V alakú nyílt függvények. Általános indexhalmaz esetén a közbázis a π_i^{-1}(U_i) (i-enként nyílt U_i ⊆ X_i) preimage-jeiből áll, és a bázist ezek finomított származtatásai adják. Egy tipikus leírás szerint a terméktopológia bázisa az olyan elemeket tartalmazza, amelyek mindegyike csak finit sok koordinátában módosítja a teret: a ∏ U_i, ahol U_i nyílt X_i-ban, és csak finit sok i-n van U_i ≠ X_i; a többi ténylegesen X_i marad.

Tulajdonságok. A terméktopológia a projekciók folytonosságát biztosítja, és ezáltal az elsődleges (initial) topológia a projekciók szerint. Ha minden X_i hosztot, T1-et vagy Hausdorffot rendelkezik, akkor a termék is megkapja ezeket a tulajdonságokat; például R^n a nyílt koordinátaik termékeként értelmezhető a saját terméktopológiájában.

Példák és viszonyok. A finite indexű termékekben a terméktopológia és a box-topológia közötti különbség eltűnhet; végtelen indexű termékek esetén a box-topológia finomabb. A terméktopológia gyakran használható konvergencia vizsgálatára: a projekciók koordinátáiban történő konvergencia szükséges feltétele a terméktopológiában való konvergenciához. Gyakorlati alkalmazásokban a terméktopológia a többváltozós függvények folytonosságát és a markáns topológiai tulajdonságok megőrzését szolgálja, és kiemelt szerepe van a Tychonoff-tételben is a kompakt terek összekapcsolásánál.