stabiilsusfunktsioon

Stabiilsusfunktsioon on matemaatiline tööriist, mida kasutatakse dünaamilise süsteemi stabiilsuse tõendamiseks. Üldiselt on tegemist funktsiooniga V: ℝ^n → ℝ_+, mis sarnaneb Lyapunovi funktsiooniga ning mida rakendatakse, et näidata olekute tasakaalu või püsivuse tekke. Stabiilsusfunktsiooni olemasolu lubab teha järeldusi nii lokaalsete kui ka globaalsete omaduste kohta ning see on oluline vahend süsteemide kavandamisel ja analüüsil.

Peamised nõuded on järgmised. V(x) peab olema mitte-negatiivne ning V(x) = 0 täpselt tasakaalupunkti x* korral. Lisaks peab dünaamiline areng näitama, et stabiilsus hoitakse: continuous-time puhul V̇(x) ≤ 0 kõigil olekutel ja diskreetse aja korral V(x_{k+1}) − V(x_k) ≤ 0. Kui see muutub rangemaks ja V̇(x) < 0 või V(x_{k+1}) − V(x_k) < 0, võivad järeldused olla tugevamad, näiteks asümptootne stabiilsus.

Tuntu näide on kvadratiivne valik V(x) = x^T P x, kus P on positiivne definite. Linearne süsteem dx/dt = Ax: kui on olemas P > 0 nii, et A^T P + P A < 0, tagab see süsteemi globaalset asümptootset stabiilsust. Diskreetse aja korral kehtib vastav tingimus A^T P A − P < 0. Selline lähenemine võimaldab praktilisi arvutusmeetodeid, vahel ka lineaarsed maatriks-tingimused (LMIs), stabiilsust tõendada või disainida.

Rakendused hõlmavad kontrolli- ja elektroonikasüsteeme, roboti-, energiavõrgu- ning ökoloogiliste mudelite turvalist jausaldusväärset toimimist. Piiranguna tuleb märkida, et stabiilsusfunktsiooni olemasolu ei taga kõikehõlmavat turvalisust ega universaalset stabiliseerimist ning mõnikord on funktsiooni leidmine keeruline või võimatu.

Seotud mõisted hõlmavad Lyapunovi funktsiooni, dünaamilisi süsteeme ja stabiilsust ning neid käsitletakse laialdaselt nii deterministlikes kui ka stochasticastes süsteemides.