signändring

Signändring betecknar att ett funktionsvärde ändrar tecken mellan två punkter eller över ett intervall. För en funktion som är kontinuerlig på ett sammanhängande intervall innebär en signändring mellan punkterna a och b att det finns en punkt c i (a, b) där f(c) = 0. Denna idé är kärnan i mellanvärdessatsen.

Om funktionen är kontinuerlig på [a, b] och produkten f(a) · f(b) är negativ, så finns det minst ett nollställe i (a, b). Om antingen f(a) = 0 eller f(b) = 0 är ändpunkten själv ett nollställe. Om produkten är positiv finns det inte nödvändigtvis något nollställe baserat enbart på tecknen vid ändpunkterna.

I diskreta sammanhang, där man endast har värden vid utvalda punkter, garanterar inte en signändring mellan två på varandra följande punkter att funktionen har ett nollställe däromkring, särskilt utan antagande om kontinuitet. Signändringar är ändå användbara som indikation på att ett nollställe kan finnas i närheten.

Exempel: f(x) = x^2 - 2 ändrar tecken mellan x = 1 och x = 2, vilket pekar mot x = √2 som nollställe. En enklare case är f(x) = x - 1 som ändrar tecken över x = 1.

Användningar: Inom numeriska rotsökningar, som bisectionmetoden, används teckenändringar vid intervallets ändpunkter som stoppkriterium. Inom analys och optimering används signändringar för att identifiera lokala extrempunkter och teckenområden i integraler.