semigruppiin

Semigruppi on algebrainen rakenne, jossa on joukko S ja binäärinen operaatio •: S × S → S, joka on assosiatiivinen: a•(b•c) = (a•b)•c kaikille a, b, c ∈ S. Semigruppia merkitään usein (S, •). Identiteettiä ei vaadita; jos sellainen esiintyy, kyseessä on monoid. Jos jokaisella kohdalla on käänteinen, eli on elementti b, jonka kanssa a•b = b•a = e, ollaan ryhmän kaltaisessa rakenteessa.

Esimerkkejä: (N, +) on semigruppi; se on myös monoid, koska nollalla on identiteetti. (N, ×) on semigruppi ja monoid, sillä luvulla 1 on identiteetti. Merkkijonot A*:n konkatenaatio-operaatio muodostaa semigruppin; identiteetti on tyhjä merkkijono. Funktiot X → X koostumuksella muodostavat semigrupin; identiteettifunktio tekee siitä monoidin.

Ala-semi-ryhmä (subsemigruppi) on osa S, joka itsessään muodostaa semigrupin samassa operaatiossa. Semigruppihomomorfismi f: S → T täyttää f(a•b) = f(a)•f(b) kaikille a, b ∈ S, joten se säilyttää rakenteen.

Yleistyksiä ja sovelluksia: Finiteja semigruppeja tutkitaan etenkin automaatioteoriassa ja muodollisten kielten synnytysten (syntaktiset semigruppit) yhteydessä. Semigruppiteoria ymmärtää ja luokittelee erilaisia rakenteita ilman identiteettiä tai inversionaalisuutta ja tarjoaa keinoja rakennetta kuvaavien kontekstisidonnaisten ominaisuuksien tarkastelemiseen. Käytännössä semigruppeja esiintyy laajasti algebraa sekä laskennan ja kieliteorian malleissa.