semigrup

Semigrup, boş olmayan bir küme S ile S üzerinde tanımlı ikili bir işlemin (genelde çarpım olarak adlandırılır) assoatif olduğu matematiksel bir yapıdır. Yani S içindeki tüm elemanlar a, b, c için (ab)c = a(bc) eşitliği sağlanır. Semigruplar, işlem birbirine uygulanınca sonuç yine S içinde kalacağı için kapalı bir yapıya sahiptir ve ikinci yaklaşımda birleşiklik (associativity) özelliği temel koşul olarak belirlenir.

Bir semigrup içinde kimlik elemanı varsa bu yapıya monoid denir. Monoid’e sahip olan semigruplar, etki açısından daha fazla yapı sunar; ayrıca her elemanın bir tersi bulunduğu durumlar grup kavramını doğurur. Ancak bir semigrup her zaman monoid ya da grup değildir; kimlik veya terslik gibi ek özellikler eklenmediği sürece yalnızca semigrup kalır.

Örnekler:

- Doğal sayılar bütünü üzerinde toplama işlemiyle elde edilen semigrup (0 dahil edilirse monoid olur).

- Pozitif tam sayılar bütünü üzerinde çarpma işlemiyle elde edilen bir semigrup.

- Bir alfabeden oluşan tüm dizelerin konkatenasyonu, bu dizilerin oluşturduğu semigrup oluşur; boş dize ile birlikte ise bu örnek free monoid olarak adlandırılır.

- Bir kümedeki tüm fonksiyonlar üzerinde fonksiyon bileşimi de bir semigrup yapısı sağlar.

Alt yapılar ve kavramlar: Semigruplar üzerine kurulan alt semigruplar, semigrup homomorfizmaları ve kongruans kavramları temel konulardır. Semigruplar, hesaplama ve dil kuramı dahil çeşitli alanlarda kullanılan soyut bir yapı olarak karşımıza çıkar; özellikle otomata teorisinde geçiş işlemleriyle ilişkilendirilir.