Semigruplar

Semigruplar, üzerinde kapalı bir ikili işlemin bulunduğu boş olmayan bir küme ile tanımlanan cebirsel yapılardır. Bu işlem için asossiyatitivite (a b) c = a (b c) her üç eleman için geçerlidir. Semigruplar, daha özel yapılar olan monoidler ve grupların genel adıdır.

Bir semigrupta birim eleman varsa bu yapıya monoid denir; tüm elemanların tersi varsa grup oluşur. Birim veya tersi olmaması halinde ise semigruplar bu daha güçlü yapıların tamamını kapsamaz.

Örnekler: Pozitif tam sayılar üzerinde toplama işlemi, birim 0’in dışında kaldığı için (pozitifler) semigruptur ancak monoid değildir. Pozitif tam sayılar üzerinde çarpma işlemi ise 1’i birim olarak içerdiği için monoiddir. Alfabet A üzerinde konkatene işlemiyle elde edilen A* kümesi, epsilon adlı boş sözcüğü içerdiğinden bir monoiddir; A* dışındaki alt kümeler yalnızca semigruplar olabilir.

Alt yapılar ve idealler: Alt semigruplar, B ⊆ S olup B ile S’ın işlemlerine kapalı alt kümelerdir. Ayrıca siyasal ve iki taraflı idealler gibi kavramlar semigroup teorisinin temel yapı taşlarındandır. Finite semigruplarda Green’in ilişkileri ve idempotent elemanlar gibi kavramlar yapısal sınıflandırmada kullanılır.

Uygulamalar: Semigruplar, otomata kuramı ve formel dillerde merkezi bir rol oynar. Bir dilin yapısal analizi, dilin sentez monoidinin özellikleriyle yakından ilişkilidir ve finite semigruplar bu ilişkiyi somutlaştırır. Ayrıca bilgisayar biliminde işlemlerin soyutlamalarında ve çeşitli matematiksel modellerde de kullanılır.

Tarihçe: Semigruplar kavramı 20. yüzyılda gelişmeye başlamış ve genişleyen teori, çeşitli alanlarda kapsamlı araştırmalara konu olmuştur.