semidefiniittisiä

Semidefiniittisyys on käsite matriisilaskennassa ja lineaarialgebrassa, joka kuvaa neliömatriisin ominaisuuksia. Sitä käytetään erityisesti symmetristen ja Hermiten matriisien yhteydessä. Matriisi A on semidefiniittinen, jos se täyttää tietyn ehdon, joka liittyy matriisin ja minkä tahansa nollasta poikkeavan vektorin x väliseen pistetuloon.

Yleisemmin matriisi on positiivisesti semidefiniittinen, jos x^T A x >= 0 kaikille vektoreille x. Tässä x^T on vektorin x transpoosi. Vastaavasti matriisi on negatiivisesti semidefiniittinen, jos x^T A x <= 0 kaikille vektoreille x. Jos matriisi ei ole kumpaakaan edellä mainituista, se on indefiniittinen.

Positiivisesti semidefiniittisyyden voi myös todentaa matriisin omien arvojen avulla. Symmetrinen tai Hermiten matriisi on positiivisesti semidefiniittinen, jos ja vain jos kaikki sen omat arvot ovat epänegatiivisia (eli >= 0). Negatiivisesti semidefiniittisyyden ehto puolestaan on, että kaikki omat arvot ovat ei-positiivisia (eli <= 0).

Semidefiniittisyydellä on merkitystä useilla matematiikan ja tekniikan aloilla, kuten optimoinnissa, tilastotieteessä ja kvanttimekaniikassa. Esimerkiksi konveksien optimointiongelmien analysoinnissa ja ratkaisemisessa semidefiniittisyydellä on keskeinen rooli.