segédmátrixként

A segédmátrix, vagy más néven adjungált mátrix, egy négyzetes mátrixhoz kapcsolódó mátrix. A segédmátrix elemei az eredeti mátrix elemeinek kovariánsai, transzponálva. Pontosabban, ha $A$ egy $n \times n$ mátrix, akkor segédmátrixa, jelölje $adj(A)$, a következőképpen definiálható: $adj(A)_{ij} = C_{ji}$, ahol $C_{ji}$ az $A$ mátrix $(j, i)$ eleméhez tartozó kofaktor. A kofaktor pedig az aldetermináns és egy előjel szorzata: $C_{ji} = (-1)^{j+i} M_{ji}$, ahol $M_{ji}$ az $A$ mátrix $(j, i)$ eleméhez tartozó aldetermináns, ami az eredeti mátrixból a $j$-edik sor és $i$-edik oszlop eltávolításával keletkező $(n-1) \times (n-1)$ mátrix determinánsa.

A segédmátrix fontos szerepet játszik az inverz mátrix kiszámításában. Egy $A$ mátrix inverze, $A^{-1}$, akkor létezik, ha a determinánsa nem nulla. Ebben az esetben az inverz mátrix a következő képlettel adható meg: $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A)$. Ez a képlet különösen hasznos lehet kis méretű mátrixok, például $2 \times 2$-es vagy $3 \times 3$-as mátrixok inverzének kézi kiszámításánál. A segédmátrixnak van továbbá más alkalmazása is, például lineáris egyenletrendszerek megoldásában vagy bizonyos mátrixegyenletek elemzésében.