ryhmittelysuhteiden

Ryhmittelysuhteet ovat käsite, jota käytetään matematiikassa ja informatiikassa kuvaamaan, miten kohteet voidaan jakaa ryhmiin tai luokitella niiden ominaisuuksien perusteella. Ne ovat usein relationaalisia: kahden alkion sanotaan kuuluvan samaan ryhmään, jos ne täyttävät tietyn kriteerin.

Jos on joukko X ja relation R ⊆ X × X, sanotaan, että kaksi alkiota x ja y kuuluvat samaan ryhmään tai ovat samassa ryhmitteessä, kun x R y. Kun relation täyttää tietyt ominaisuudet, siitä muodostuu ryhmittely, joka jaetaan X:n osiin. Yksi keskeinen tapa määritellä ryhmittyminen on käyttämällä equivalence-relatiota: relation on refleksiivinen (jokainen alkio on suhteessa itseensä), symmetrinen (jos x on suhteessa y, niin y on suhteessa x) ja transitiivinen (jos x on suhteessa y ja y on suhteessa z, niin x on suhteessa z). Tällöin X:stä muodostuu ryhmäjakautuma eli partition: X:n osittaisten ryhmien, equivalence-luokkien, joukko on disjunktti ja kattaa koko alkiojoukon. Jokaisella alkioilla on oma equivalence-luokkansa [x], ja X koostuu näiden luokkien yhdistelmästä.

Vastaavasti annettu partition P X:stä voidaan määritellä equivalence-relatio x ~ y, jos x ja y kuuluvat samaan blockiin (same block) partitionissa. Tämä näkökulma osoittaa kiertotien: equivalence-relatiot ja ryhmitellyt jakautumat ovat yhtä ilmiötä eri tapa kuvatun.

Esimerkkejä ryhmittelysuhteista ovat saman syntymävuoden, sama väri, tai sama kieli, kun ne tarkastellaan homogeenisten ryhmien muodostamiseksi. Käyttökohteita ovat matemaattiset todistukset, tietokannat ja ohjelmointikielet sekä data-analyysi, jossa tavoitteena on löytää ja ymmärtää kohteiden ryhmittelyjä.