ryhmähomomorfismeista

Ryhmähomomorfismi on matematiikassa funktio kahden ryhmän välillä, joka säilyttää ryhmän operaatiot. Tarkemmin sanottuna, jos meillä on kaksi ryhmää (G, *) ja (H, ·), funktio f: G → H on ryhmähomomorfismi, jos kaikilla G:n alkioilla a ja b pätee f(a * b) = f(a) · f(b). Tämä ehto tarkoittaa, että ryhmän operaation suorittaminen G:ssä ja tuloksen kuvaaminen H:hon on sama kuin ensin kuvaaminen G:n alkiot H:hon ja sitten operaation suorittaminen H:ssa.

Ryhmähomomorfismin ydinominaisuuksia ovat sen kuva ja ydin. Homomorfismin kuva, eli kaikkien f(g) arvojen joukko, kun g käy läpi kaikki G:n alkiot, on H:n alia. Homomorfismin ydin, eli niiden G:n alkioiden joukko, jotka kuvautuvat H:n neutraalialkioksi, on G:n normaali alia.

Homomorfismit ovat keskeisiä ryhmäteoriassa, koska ne mahdollistavat ryhmien rakenteen vertailun ja ymmärtämisen. Jos homomorfismi on bijektiivinen, sitä kutsutaan isomorfismiksi, mikä tarkoittaa, että ryhmät ovat rakenteellisesti samanlaisia. Homomorfismien avulla voidaan todistaa monia tärkeitä lauseita ryhmistä, kuten ryhmän tekijäryhmän olemassaolo.