rotatoorimuunnokset

Rotatoorimuunnokset ovat geometrian ja lineaarialgebran käsitteitä, jotka kuvaavat kappaleiden kiertämistä tilassa ilman mittasuhteiden muuttumista. Ne ovat isometrisiä lineaarisia muunnoksia ja kuuluvat ortogonaalisten muunnosten ryhmään; niiden determinantti on 1, mikä tekee muunnoksista oikeakulmaisia ja käänteisiltä ominaisuuksiltaan helppokäyttöisiä.

Kääntö voidaan tarkastella eri ulottuvuuksissa. Kaksidimensioisessa tilassa kierto määritellään kulmalla θ, ja se on esitetty 2x2-rotation matriisina R(θ) = [[cos θ, -sin θ], [sin θ, cos θ]]. Kolmiulotteisessa tilassa kierto voidaan suorittaa akselin u ympäri, jossa u on yksikkövektori ja θ on kiertokulma. Yleisemmät tavat kiertojen esittämiseen ovat Rodriguesin kaava sekä ruutuarvoiset matriisit.

Rodriguesin kaavan mukaan kiertomatriisi R on R = I cos θ + (1 − cos θ) uu^T + [u]_× sin θ, missä I on identiteettimatriisi, uu^T sen ortogonaalisen kiinteytyksen projektiot, ja [u]_× on skaalattava kiertomatriisi (vektorin u pistematriisi), joka tuottaa ristitulon.

Quaternioiden käyttö tarjoaa toisen tehokkaan kiertojen representaation. Yksikköquaternioni q = (w, x, y, z) vastaa kolmiulotteista kiertoa, ja vektori v kiertyy muuntamalla v q, ja lopuksi kertomalla tulos q^{-1}.

Ominaisuudet ja sovellukset: rotatoorimuunnokset säilyttävät etäisyydet ja kulmat, ne ovat käänteisiä ja yhteenvedettävissä sekä yhdistettävissä. Niillä on keskeinen rooli tietokonegrafiikassa, robotiikassa, geodesiassa ja virtuaalitodellisuudessa. Euler- kulmilla voi toisinaan esiintyä gimbal-lukkoja, mikä selittää kiertojen usein käytettyjä selain- ja quaternion-pohjaisia esityksiä.