projektionsfunktioner

Projektionsfunktioner, eller projektioner, är kartor som avbildar varje element till en delmängd eller underrum, vanligtvis genom att behålla vissa komponenter och avlägsna andra. Inom linjär algebra används oftast termen projektion eller projektionoperator för en linjär kartlag P: V → V som uppfyller P^2 = P (idempotens). Sådana operatorer avbildar V på sin bild Im(P). Om V kan delas som V = Im(P) ⊕ Ker(P) kallas P en projektion på Im(P) längs Ker(P).

Ortogonala projektioner är projektioner där V har en inre produkt och P är symmetrisk (P^T = P). Då är V = Im(P) ⊕ Im(P)⊥ och varje vektor v kan skrivas som v = w + u med w ∈ Im(P), u ∈ Im(P)⊥, och P(v) = w.

Exempel: projektion på de första k koordinaterna i R^n, där P(x1, ..., xn) = (x1, ..., xk, 0, ..., 0). Matrisrepresentationen är diag(1, ..., 1, 0, ..., 0).

Icke-linjära eller mer allmänna projektioner kan definieras som P^2 = P utan att P behöver vara linjär. I geometriska eller metriska sammanhang kan en projektion defineras som funktionen som tilldelar varje punkt den närmaste punkten i en fast undermängd A.

Användningsområden inkluderar geometri, datorgrafik och bildbehandling, datareduktion genom ortogonala projektioner (t.ex. PCA), samt regression där projectioner används för att uttrycka estimationer i kolumnrymden.