polaarfaktoriseerimine

Polaarfaktoriseerimine ehk polar decomposition on lineaarse transformatsiooni või matriksi A dekompositsioon, kus A kirjutatakse kujul A = U|A|. Siin |A| = sqrt(A* A) on Hermite’lik ja positiivselt semidefinite ning U on unitaarne (reaalruumis ortogonaalne). See dekompositsioon eristab ilu (pöörduv osa) ja suuruse muutumise osa.

Eksisteerimine ja osaline isomeetria: Iga kompleksne või reaalne matriis A ∈ C^{m×n} või R^{m×n} on kirjutatav kujul A = U|A|, kus |A| = sqrt(A* A) ja U on osaline isomeetriline (unitaarne korral piisavalt hästi määratud). Kui A on täisruumiga ruutmatriks ja invertsiooniline, on U unitaarsus ning U = A|A|^{-1}. Kui A pole täisrankne, on U määratav ainult osaliselt ning dekompositsioon on siiski kehtiv.

Reaal- ja kompleksversioon: reaalarvulistele matriisidele saab kirjutada A = QP, kus Q on orthogonaalne (orthogonal) ja P on sümmeetriline positiivselt semidefinite. Kui A = U Σ V^T on SVD (Σ sisaldab mitteanevast mittesümboolset nn-ima), siis polaarfaktoriseerimine annab Q = UV^T ja |A| = V Σ V^T.

Arvutus ja seosed SVD-ga: polaarfaktor U ja suurus|A| on tihedalt seotud SVD-ga. Kui A = U Σ V^*, siis A = Q|A|, kus Q = U V^* ja |A| = V Σ V^*. Sõltuvalt arvutusmeetodist saab polariseerimise teostada kas A* A (ja selle ruutjuur) kasutades või otse SVD-st.

Rakendused ja omadused: polaarfaktoriseerimine eraldab üheksast transformatsioonist pöörduva osa ja suuruse osa, mis on väärtuslik optimeerimises, Prokrustes’ probleemi lahendustes, numerilises linearalgebras, kvantemehaanikas ja mehaanikas. Dekompositsioon on üldiselt olemas ning täisrankse korral on unitaarne osa unikaalne.