polárkoordinátákban

Polárkoordinátákban (angolul *polar coordinates*) egy koordináta-rendszer, amelyben egy pont helyét két számmal határozzák meg: a távolságot (*r*) és az szöget (*θ*) a referenciavonalhoz (általában a pozitív x-tengelyhez) képest. Ez a rendszer különösen hasznos olyan problémák megoldásában, ahol a szimmetria vagy a forgásinvariancia fontos, például fizikai, mérnöki vagy matematikai alkalmazásokban.

A polárkoordinátákban egy pont helyét a következőképpen írják le:

- *r*: a pont távolsága az origótól (pólustól), mindig nem-negatív szám.

- *θ*: a pozitív x-tengelyhez képest mért szög, általában radiánban vagy fokokban mérve. A szög pozitív irányban (ellentétes az óramutató járásával) mérik.

A Descartes-koordinátákból (kartézeskövetkezményekből) a polárkoordinátákra való átalakítás a következő képlet segítségével történik:

x = r * cos(θ)

y = r * sin(θ)

Visszafelé a polárkoordinátákra való átalakítás:

r = √(x² + y²)

θ = arctan(y / x) (a szög meghatározásnál figyelembe kell venni a pontok kvadránsát)

A polárkoordináták előnye, hogy egyszerűbben kezelik a forgásinvariant problémákat, például hullámterjedést, elektromágneses tereket vagy geometriai alakzatokat, mint például köröket vagy spirálokat. A polárkoordinátákban egy kör egyenlete egyszerűen r = R, ahol R a kör sugara. A polárkoordinátákban való integrálás és deriválás különös technikákat igényel, de számos alkalmazásban hasznos.

A polárkoordinátákkal kapcsolatos fogalmak közé tartozik a polárgráf, amelyen a függvény értékeit r és θ függvényében ábrázolják, valamint a polártengelyek, amelyek a koordináta-rendszer alapvető vonalai. A rendszer általánosítható több dimenzióra is, például a háromdimenziós polárkoordinátákban, ahol egy harmadik koordináta (z) adja meg a magasságot a pólustól.