pienperturbaatioiden

Pienperturbaatioiden käsite kuuluu matemaattisen analyysin ja soveltavan fysiikan alueille, joissa järjestelmän ominaisuudet riippuvat pienestä parametrista ε. Kun ε on pieni, ratkaisut ja vasteet voidaan lähentää laajennuksella ε:n mukaan: F(ε) = F0 + ε F1 + ε^2 F2 + … Tämä mahdollistaa alkuperäisen, tunnettavissa olevan ratkaisun tai tilan tarkastelun pienine korjauksineen tutkittaessa, miten järjestelmä reagoi pieniin häiriöihin.

Perturbaatio­teoria voidaan jakaa säännöllisiin (regular) ja singularisiin (erityistapaukset) laajennuksiin. Säännöllisessä tapauksessa korjausketjut ovat koelähtöisiä ja laajennukset konvergoivat tai käytännössä koherentteja, jolloin ongelma ratkaistaan hitaan, järjestelmällisen ε:n riippuvuuden avulla. Singularissa tapauksessa ε:n vaikutus voi olla epälineaarinen tai johtaa uusiin mittakaavaan, esimerkiksi rajapintoihin muodostuviin boundary layer -alueisiin. Tällöin tavallinen yhden sarjan laajennus ei riitä, ja käytetään erikoistekniikoita kuten boundary-layer-, matched asymptotics- sekä multiple scales -menetelmiä.

Esimerkkejä käytöstä löytyy kvanttimekaniikasta ja mekaniikasta: kvanttimekaniikassa H = H0 + ε V antaa energioiden ja tilojen korjauksia, kuten E_n ≈ E_n0 + ε ⟨n|V|n⟩ + ε^2 ∑_{m≠n} |⟨m|V|n⟩|^2 /(E_n0 − E_m0) + … Tämä on Rayleigh–Schrödingerin perturbaatio. Pienperturbaatioita sovelletaan laajasti fysiikassa, kemiassa, insinööritieteissä sekä mallintamisessa taloudessa ja biologiassa, kun tavoitteena on kuvata häiriöiden vaikutuksia ilman täyttä ratkaisuja. Rajoitteina ovat oletukset ε:n pienuudesta sekä se, että laajennukset voivat olla vain likimääräisiä tai vaatia lisämenetelmiä tulosten varmennukseen.