osasarjoja

Osasarjoja on käsite, jota käytetään matematiikassa kuvaamaan osan alkuperäisestä sarjasta muodostettua uutta sarjaa. Osasarja muodostetaan valitsemalla osa alkuperäisestä sarjasta indeksien k_1 < k_2 < k_3 < ... ja muodostamalla sen jälkeen sarja sum_{j=1}^∞ a_{k_j}. Termiä osasarja käytetään sekä singular- että plural-muodossa (osasarja, osasarjoja). Käytännössä osasarjoja voidaan tarkastella sekä rajallisesti että äärettömästi.

Konstruktion kannalta osasarja on siis poiminta alkuperäisestä sarjasta: annetaan a_n, valitaan kasvava indeksi–jono k_1, k_2, ..., ja muodostetaan osasarja sum_{j=1}^∞ a_{k_j}. On tärkeää huomata, että a_n konvergoi tai divergoi, eikä jokaista osasarjaa automaattisesti seuraa konvergenssi. Esimerkiksi sarja ∑_{n=1}^∞ (-1)^n / n konvergoi (se on –ln 2), mutta osasarja, jonka indeksit ovat parilliset, ∑_{n=1}^∞ 1/(2n), divergoi. Toisaalta, jos alkuperäinen sarja konvergoi absoluuttisesti, niin jokainen osasarja konvergoi.

Käytännön merkitys: osasarjoja käytetään analyysissä konvergenssin ominaisuuksien tutkimisessa sekä ilmiöiden tarkastelussa, joissa halutaan nähdä, miten osan termeistä vaikuttaa koko sarjan käyttäytyminen. Ne ovat läheisessä yhteydessä käsitteisiin subsekvenssit ja alisarjat, ja niitä voidaan hyödyntää sekä teoreettisessa että soveltavassa kontekstissa.

Lisäluettelo: sarja, konvergenssi, absoluuttinen konvergenssi, subsekvenssi, osasarjaesimerkit.