nollfunktioner

En nollfunktion är en funktion som avbildar varje element i sin domän till nollan i kodomänen. Om f: X → Y är en nollfunktion uppfyller den f(x) = 0_Y för alla x i X, där 0_Y är noll-elementet i kodomänen Y.

För givna X och Y finns det exakt en sådan funktion. Denna funktion kallas ofta den identiskt nollfunktionen och är konstant lika med nollfunktionen på varje argument. Exempel: f: R → R med f(x) = 0 för alla x; f: ℕ → R med f(n) = 0; eller en nollfunktion från en vektorrymd V till V där f(v) = 0_V för alla v.

Egenskaper och betydelse. I fallet där Y är en vektorrymd blir nollfunktionen den additiva identiteten i rummet av alla funktioner X → Y. Om man betraktar en linjär avbildning T: V → W är T = 0 den nollte avbildningen; dess kärna är då hela V. Den nollfunktion som avbildar allt till nollan har alltså centrala roller inom funktioners algebraiska struktur, integreras som grundläggande byggsten i konstruerade funktioner och som referensvärde i homogenitet.

Noteringar. Nollfunktionen betecknas ofta med 0, eller 0_X när man vill markera vilken domän som avses. Det är den enda funktionen som är konstant noll och samtidigt uppfyller villkoret f(x) = 0_Y för varje x. I analys kan den identiskt nollfunktionen vara lösning till vissa homogena problem, och i variabler funktioner fungerar den som nollvektorn i funktionrymden.