mõõdetavust

Mõõdetavus ehk mõõdetavus on matemaatiline omadus, mis puudutab funktsioonide ja hulku ühenduvust antud mõõtmissüsteemiga. Sageli kasutatakse mõõtmissüsteemina σ-algebra F peal X, millele rakendatakse mõõta muutujaid. F-iga mõõdetavaks nimetatakse funktsiooni f: X → R või X → [-∞, ∞], kui iga Borel’i hulga B ⊂ R jaoks on f^{-1}(B) kuuluv F. Seda öeldakse, et f on mõõdetav Borel-meetprod.

Mõõdetav on ka hulk A ⊂ X, kui A kuulub antud σ-algoritmile F. Erinevad σ-algoritmid annavad erineva mõõdetavuse taseme, nii et Borel-measurabilsus ja Lebesgue-measurabilsus on levinud näited.

Mõõdetavuse põhitegurid: real-valued f puhul on sageli kasulik kontrollida, kas puudub definitsioon f on mõõdetav, kui iga a ∈ R puhul hulgad {x ∈ X : f(x) > a} või {x ∈ X : f(x) ≤ a} on mõõdetavad. See annab alternatiivse karakterisatsiooni erinevate tasandite kasutamisel. Kontiinused funktsioonid on tavaliselt mõõdetavad, samuti lihtsad funktsioonid ja signatuuri funktsioonid (indikaatori- ehk välilläaihedus) on mõõdetavad.

Omadused ja jõudlus: kui f ja g on mõõdetavad, siis ka sd või af + bg on mõõdetav, ning if f on mõõdetav ja g on mõõdetav, siis ka g ∘ f on mõõdetav, kui g on mõõdetav. Mõõdetavus on sulgumine erinevate konstruktsioonide ja piirväärtuste all ning erinevate mõõdéete, sh Lebesgue- ja Borel-measurabiliteedi all.

Rakendused: mõõdetavus on keskne mõiste integraalide defineerimisel (nt Lebesgue'i integraal) ja tõenäosus-, statistika- ning funktsiooniuuringute (jne) raames. Muutuja, mille väärtused on mõõdetavad, nimetatakse sageli juhuslikuks muutuja. Mõõdetavate funktsioonide vahelised omadused ja tihtipeale eelteostus aitab mõista integratiivsust ja tõenäosuslikke omadusi.

---