måleligheten

Måleligheten er et grunnbegrep i målteori som beskriver når en mengde eller en funksjon er forenlig med en gitt måle, slik at størrelser som størrelsen, sannsynlighet eller integral kan tilordnes på en konsistent måte. Begrepet er sentralt for både analyse og sannsynlighet, og det gjør det mulig å kombinere størrelse og utregninger i et systematisk rammeverk.

Formelt sett starter man med et målerom (X, F) der F er en σ-algebra av delmengder av X, og μ er en måle definert på F. En delmengde A ⊆ X er målbart hvis A ∈ F. En funksjon f: X → R er μ-målbar dersom preimageen av alle Borel-mengder B ⊆ R ligger i F, altså f^{-1}(B) ∈ F for hvert Borel-sett B. Eventuelt kan man kreve at preimageene av utvalg av enkle skiller, som (-∞, a], er måtbart for alle tall a. For komplekse verdier brukes tilsvarende definisjoner.

Eksempler: I R med Borel-sigma-algebras er alle Borel-sett målbare. Lebesgue-måling lar seg definere på et bredere klasse av mengder (Lebesgue-målbare mengder). Det finnes ikke-målbare mengder under valgaksen, som Vitali-settet, som viser forskjellen mellom abstrakt målbarhet og intuitiv størrelse.

Anvendelser: målbarhet er grunnleggende i sannsynlighetsteori, der en tilfeldig variabel er en målbar funksjon fra et sannsynlighetsoverflate til R. Den muliggjør definisjon av integraler, forventning og ulike grense-/konvergensresultater, slik som Monotone- og Dominated Convergence-teoremene, samt korrekte egenskaper ved avbildede størrelser.