multinomická

Multinomická, často označovaná distribuční či model s více kategoriemi, popisuje počet výskytů v n nezávislých pokusech, které mohou mít k různých výsledků s danými pravděpodobnostmi p1, p2, ..., pk, přičemž sumární pravděpodobnosti činí 1. Jde o obecnější verzi binomické distribuce, která rozšiřuje počet kategorií na více než dvě.

Pravděpodobnostní hmotnostní funkce (PMF) multinomické distribuce vyjadřuje pravděpodobnost, že v n pokusech dojde ke x1 výskytů k-é kategorie, x2 výskytů druhé kategorie a tak dále, kde součet xi je roven n a každý xi je nezáporné celé číslo. PMF je P(X1=x1,...,Xk=xk) = n! / (x1! x2! ... xk!) ∏ (p_i^{x_i}). Očekávaná hodnota každé složky je E[Xi] = n p_i, variace Var[Xi] = n p_i (1 - p_i) a kovariance Cov(Xi, Xj) = - n p_i p_j pro i ≠ j.

Vztah k binomické distribuci spočívá v tom, že pro dva kategorie se multinomická distribuce redukuje na binomickou: X1 ~ Binomial(n, p1) a X2 = n - X1. Důležitým matematickým nástrojem je multinomický koeficient a multinomická věta: (p1 + p2 + ... + pk)^n = sum nad xi s soust.podmínkou sum xi = n n!/(x1! ... xk!) ∏ p_i^{x_i}.

Parametry p_i lze odhadnout jako MLE: p_i_hat = x_i / n. Multinomická distribuce se používá v průzkumech, genetice, zpracování textu a dalších oborech, kde se sleduje rozdělení počtů do více kategorií. V souvislosti s ní bývá uvedena i souvislost s Dirichlet–multinomialním modelem, který kombinuje výsledek multinomické rozdělení s nevlastními parametry.

---