moduulityypit

Moduulityypit ovat modulien, eli algebraattisten moduulien, luokittelun ja ominaisuuksien eriytymisiä erilaisissa ympäristöissä. Moduuli M over ring R on abeliivinen ryhmä, jossa R toimii määräävänä skaalautumisoperaationa. Moduulit laajentavat vektori- ja abelian ryhmä -käsitteitä antamalla skaalauksen, joka voi tulla ei-kadulta eikä välttämättä edellytä kenttää.

Tärkeimmät moduulityypit ovat muun muassa free-moduulit, jotka ovat basisin omaavia ja isomorfisia R:n suoraan potensseihin, sekä finitely generated -moduulit, jotka voidaan tuottaa lopullisella määrällä generaattoreita. Cyclic-moduulit ovat yhden generaattorin moduuleja, ja ne ovat usein isomorfisia muotoon R/I, missä I on ideaali. Simple-moduulit ovat ei-nolvoja pienempiä, eikä niillä ole lainkaan purkamatta jätettä; ne voivat olla elämässä merkittäviä rakennuspalikoita. Semisimple-moduulit ovat direct sum -johdannaisia simple-moduuleista, ja ne vastaavat hallittuja rakenteellisia ominaisuuksia usein sarjatuotteissa.

Projektiiviset moduulit ovat lifting-ominaisuudeltaan vahvoja ja ovat suora summa vapaa-moduoleista tietyissä ympäristöissä; injektiiviset moduulit täyttävät laajennus-ominaisuuksia. Indeokoomiset moduulit eivät voi purkaa suoraan kahdeksi ei-nollaksi moduuliksi. Krull–Schmidt -lause antaa ehtoja, joiden alle moduulit ovat tietyissä kategorioissa yksikäsitteisiä suoraan summana.

Erityistapauksia: jos R on kenttä, moduulit vastaavat vektoriavaruuksia, ja simple-moduulit ovat 1-ulotteisia. Jos R on PID, finitely generated -moduulit jakautuvat rakenne-lauseen mukaan muotoon R^r ⊕ (⊕ R/(p_i^{k_i})). Abelimodulit voivat olla torsion- ja torsionvapaa-osia; Z-moduuleissa tämä on tunnettu jako.

Moduulityyppejä tarkastellaan myös noetherian- ja artinian ominaisuuksien sekä langen pituuden määrittelemänä, ja ne muodostavat keskeisen osan moduli- ja representaatioteorian peruskäsitteistöä.