mitteühikud

Mitteeühikud ehk mitteühikud on ringi R elemendid, mis ei ole pööratavad ühega. Ringil peab olema identiteet 1, et defineerida pööratavus. Seega a ∈ R on mitteühik, kui puudub b ∈ R selline, et ab = ba = 1. Ühik on element, millel on pöördväärtus; nende kogumik moodustab rühma U(R) ehk R×.

Näited: Z-ringi puhul on ühikud täpselt 1 ja −1, ning kõik ülejäänud arvud on mitteühikud. Z[x]-i puhul on ühikud ainult mitte-null konstantsed polünoomid; seega mitteühikud on kõik polünoomid, mille aste on suurem kui 0 (koos konstantse nullpolünoimiga).

Omadused: Ühikute kogum U(R) on korrutamisega grupp. Element a on mitteühik, kui ideaal (a) ≠ R (ideaal genereeritud a-ga ei vaja kogu ringi). Kui a on ühik, siis on (a) = R; vastupidi, kui (a) ≠ R, ei ole a ühik. Kommutatiivsetes ringides R, a on ühik iff ta ei kuulu ühtegi maksimaalkide (maksimaalne ideaal). Finite ringide korral iga mitteühik on zero-divisor: kui a ≠ 0 ei ole ühik, leidub b ≠ 0 selline, et ab = 0. Kohalikku ringi puhul moodustavad mitteühikud üheselt selle ringi ainus maksimaalse ideeli. Jacobsoni radiaal J(R) on maksimaalkide lõike ja on sageli seotud mitteühikute struktuuriga.

Mitteeühikud on oluline mõiste algebrades ja neil on tähtis roll ideaalide ja invertibiliteedi uurimisel erinevates ringides.