minimointiongelmissa

Minimointiongelmissa tavoitteena on löytää päätösmuuttujien arvoiksi sellaiset x, että kohdefunktio f(x) pienenee mahdollisimman paljon ottaen huomioon annetut rajoitteet. Tyypillinen muotoilu on etsiä x ∈ R^n minimoimaan f(x) samalla kun g_i(x) ≤ 0 (i = 1,…,m) ja h_j(x) = 0 (j = 1,…,p). Tämä määrittelee kelvollisen rajoitusalueen X = {x | g_i(x) ≤ 0, h_j(x) = 0}. Ongelman ratkaisu voi olla globaali minimi tai lokaali minimi; globaali minimointi on tavoite.

Jos f on konveksi ja X on konveksi, mikä tahansa lokaali minimi on globaali. Monimutkaisissa tapauksissa voidaan hyödyntää dualiteettia sekä ehtoja kuten Karush–Kuhn–Tucker (KKT) ehdot ratkaisun ominaisuuksien määrittämiseksi. Konseptuaalisesti minimointiongelmat jaotellaan usein lineaarisiin, epälineaarisiin sekä konveksisiin versioihin. Lisäksi on olemassa erityistyyppejä, kuten lineaariohjelmointi, epälineaarinen ohjelmointi, konveksiohjelmointi ja kokonaislukuohjelmointi. Näissä käytetään erilaisia menetelmiä ja algoritmeja, kuten simplex-, interior-point-, branch-and-bound- sekä heuristiikka- ja metaheuristiikkamenetelmiä, riippuen ongelman rakenteesta ja koosta.

Sovelluskentät kattavat operaatioiden tutkimuksen, talouden ja rahoituksen resurssien jakamisen, tuotannon- ja aikataulutusongelmat sekä koneoppimisen mallien menetyksen minimoinnin. Minimointiongelmien ratkaisut ovat keskeisiä päätöksenteossa, kun halutaan optimoida resursseja ja kustannuksia laskelmallisesti.