matrikelsystemer

Matrikelsystemer er et matematisk rammeverk for å beskrive og løse systemer av lineære likninger ved hjelp av matriser. Et slikt system består av flere ligninger som involverer samme sett av variabler. Ved å samle koeffisientene i en matrise A, variablene i en kolonnevektor x og konstantene i en kolonnevektor b, kan systemet skrives som Ax = b.

Slik representasjon gjør det mulig å bruke lineære-algebra teknikker for å analysere og løse systemet. A kalles koeffisientmatrise, x variabler og b høyresiden.

For å avgjøre om systemet har løsning, ser man på rang(A) og rang(A|b) der A|b er den utvidede matrisen. Systemet er konsistent hvis rang(A) = rang(A|b). Hvis også rang(A) = antall variabler, er løsningen unik; hvis rang(A) < antall variabler, finnes det uendelige mange løsninger. Hvis rang(A) < rang(A|b), finnes ingen løsning.

Løsningsmetoder inkluderer Gauss-eliminasjon eller Gauss-Jordan for å redusere til redusert trappeform, LU-tilnærminger, og i kvadratiske invertible tilfeller inverting av A. Cramers regel gir løsning hvis det er n x n og determinant ikke er 0, men er ofte ikke praktisk for store systemer. Man kan også arbeide med den utvidede matrise [A|b].

Typer og egenskaper: Homogene systemer (b = 0) har alltid løsninger, der antallet av uavhengige løsninger avhenger av rang. Under- og overbestemte systemer oppfører seg forskjellig og bestemmer antall frie variabler og løsninger.

Anvendelser finnes i fysikk, ingeniørfag, økonomi, informatikk, statistikk og grafikk.

Eksempel: Systemet 2x + 3y = 5 og 4x + y = 6 kan skrives som A=[[2,3],[4,1]], x=[x,y]^T og b=[5,6]^T.