logiikkamallit

Logiikkamallit ovat semanttinen käsite muodollisessa logiikassa, jolla määritellään, mitkä lauseet ovat totta tietyssä kielessä. Ne antavat rakenteellisen tavan tarkastella, millainen todellisuus tai tulkinta lauseille on mahdollista.

Malli M koostuu domaniasta D sekä symbolien tulkinnoista: toiminnalliset symbolit f^M tulevat D:stä D^n -> D, relaatioitumiset R^M ovat relationaalisia vektoreita R^M ⊆ D^n, ja vakiot c^M kuuluvat D:hen. Lauseen totuus määritellään semantisesti, kun sille annetaan muuttujalle arvojoukkoja (asenne) s. Lause φ on totta mallissa M, merkitään M |= φ, jos φ on tosi silleen sanotun määrittelyn mukaan. Lause, jota meriittää totta kaikissa malleissa, on validi.

Teoria T on lauseiden joukko kielessä; M on T:n malli, jos M |= φ kaikille φ ∈ T. Malleja ja malleja-ominaisuuksia käytetään vertailemaan, millaisia totuuksia tietyt teoriat voivat edustaa. Erityisesti malliteorian keskeinen ajatus on, että samaa teoriaa voidaan katsoa läpi eri rakenteiden (malleja) kautta, mikä paljastaa säännönmukaisuuksia ja poikkeavuuksia.

Esimerkkejä: luonnollisten lukujen standardimalli on (N, +, ×, 0, 1) Peano-lakien kanssa, mutta on olemassa myös ei-standardeja malleja, jotka täyttävät samoja lauseita epätavallisella tavalla. Malleja käytetään laajasti matematiikassa, logiikassa ja tietojenkäsittelytieteessä muun muassa todentamiseen, mallintamiseen ja automaattiseen päättelyyn. Historiaan sisältyy merkittäviä tuloksia, kuten Gödelin täydellisyyslauseke, joka yhdistää syntaktisen todistettavuuden semanttiseen totuuteen ensimmäiselle‑tason logiikassa.