liikeyhtälöiden

Liikeyhtälöiden ovat matemaattisia malleja, jotka kuvaavat järjestelmän tilan muuttumista ajan funktiona. Tilaa voidaan kuvata esimerkiksi paikoilla, nopeuksilla ja muilla tilamuuttujilla, ja liikeyhtälöt asettavat tilan muutoksen riippuvaksi nykytilasta sekä mahdollisesti ajasta. Yleisimmin kyseessä ovat toisen kertaluvun differen­tiaalilausekkeet (ODE:t), mutta osittaisdifferentiaaliyhtälöt (PDE:t) voivat kuvata suurempia, monimutkaisempia liiketilanteita.

Tyypillinen esimerkki on massan m liike jousi–jarrujärjestelmässä. Newtonin toisen lain mukaan m d^2x/dt^2 = F(x,t,dx/dt). Jos palauttava voima on -k x ja kitkavoima on -c dx/dt, saadaan m d^2x/dt^2 + c dx/dt + k x = 0. Tämän toisen kertaluvun liikeyhtälön voi muuntaa ensin kertaluvun järjestelmäksi asettamalla y1 = x ja y2 = dx/dt, jolloin dy1/dt = y2 ja dy2/dt = -(c/m) y2 - (k/m) y1.

Ratkaisut ja menetelmät: Osa liikeyhtälöistä ratkaistaan analytisesti, mutta monissa käytännön tapauksissa ratkaisut ovat monimutkaisia tai Ei-lineaarisia, jolloin joudutaan turvautumaan numeerisiin menetelmiin. Tunnettuja ovat Eulerin menetelmä, Runge–Kutta -perheet sekä muut adaptiiviset tekniikat. ODE- ja PDE-lähestymistapoja sovelletaan laajasti mekaniikasta sähköverkkoihin, biologiaan ja taloustieteeseen.

Historia ja sovellukset: Liikeyhtälöiden muotoilut ovat peräisin klassisesta mekaniikasta ja dynaamisista järjestelmistä, joissa Newtonin, Lagrangen ja Hamiltonin muodot ovat keskeisiä. Näiden mallien avulla voidaan analysoida ja ennakoida järjestelmien dynamiikka, sekä toteuttaa simulointeja sekä suunnittelua teknisissä ja luonnontieteellisissä sovelluksissa.