käänteisfunktiota

Käänteisfunktiota, eli inverssifunktiota, käytetään matematiikassa kuvaamaan funktion operaatiota päinvastaiseen suuntaan. Jos alkuperäinen funktio f kuvautuu pisteestä x pisteeksi y, niin käänteisfunktio f⁻¹ kuvautuu pisteestä y pisteeksi x. Toisin sanoen, jos f(x) = y, niin f⁻¹(y) = x. Käänteisfunktion olemassaolo edellyttää, että alkuperäinen funktio on bijektiivinen, eli se on sekä injektiivinen (yksikäsitteinen) että surjektiivinen (kattava).

Käänteisfunktion löytämiseksi voidaan yleensä ratkaista alkuperäisestä funktiosta muuttuja x muuttujan y suhteen. Jos funktio on määritelty muodossa y = f(x), käänteisfunktio saadaan korvaamalla x y:llä ja y x:llä, ja ratkaisemalla sitten uusi x. Geometrisesti käänteisfunktion kuvaaja on alkuperäisen funktion kuvaajan peilikuva suoran y = x suhteen.

Esimerkiksi funktion f(x) = 2x + 1 käänteisfunktio on f⁻¹(y) = (y - 1)/2. Kun sijoitetaan x arvoon 3 alkuperäiseen funktioon, saadaan f(3) = 2(3) + 1 = 7. Sovellettaessa käänteisfunktiota tulokseen 7, saadaan f⁻¹(7) = (7 - 1)/2 = 6/2 = 3, mikä on alkuperäinen x-arvo. Käänteisfunktioita käytetään monilla matematiikan ja tieteen aloilla, kuten algebrassa, analyysissä ja differentiaalilaskennassa.