korrelasjonsdimensjon

Korrelasjonsdimensjon, ofte betegnet D2, er et mål på hvor sannsynligheten for at to punkter fra et datasett ligger innenfor en avstand r skalerer når r blir lite. Det brukes spesielt i studier av fraktale strukturer og kaotiske systemer for å beskrive kompleksiteten til en tiltrekker eller en observed dataset.

Definisjon og beregning: For et sett av N punkter xi i et d-dimensjonalt rom definerer man korrelasjons-summen C(r) som

C(r) = (1 / (N(N-1))) sum_{i≠j} Θ(r − ||xi − xj||),

der Θ er indikatorfunksjonen som er 1 når avstanden mellom punktene er mindre enn r, og 0 ellers. For små r følger C(r) omtrent r^{D2}. Korrelasjonsdimensjonen er D2 = lim_{r→0} log C(r) / log r, dersom grensen eksisterer.

Estimering og anvendelser: I praksis estimeres D2 ved å beregne C(r) for et utvalg av r-verdier og gjøre et log-log-plott av C(r) mot r; stigningstallet i et passende område gir en tilnærming til D2. Korrelasjonsdimensjonen er en av de generaliserte dimensjonene Dq (q = 2) og kan, for en jevn fordeling i et d-dimensjonalt rom, tilsvare d. Den brukes i analyse av tidsserier og dynamiske systemer for å estimere tiltrekkerens dimensjon og dermed kompleksiteten i systemet.

Begrensninger: Estimering krever store mengder data og riktig valg av skalaer, og resultatene kan påvirkes av støy, ikke-stasjonariteter og finite-sample-effekter.