koordinálogeometria

Koordinálogeometrie je odvětví geometrie, které používá souřadnicové soustavy k studiu geometrických útvarů a jejich vlastností a spojuje algebru s geometrií. Vznikla ve 17. století, mezi jejími zakladateli bývají René Descartes a Pierre de Fermat.

V rovině mají body souřadnice (x, y) v zvolené souřadnicové soustavě, nejčastěji kartézské. Vzdálenosti se počítají podle vzorce d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2). Sklon přímky procházející dvěma body je (y2 - y1)/(x2 - x1), pokud je definován; čáry bývají popsány lineárními rovnicemi.

Přímku lze zapisovat například jako Ax + By = C nebo y = mx + b. Vzdálenost bodu od přímky a průsečík dvou čar jsou standardními výsledky; řešení soustav lineárních rovnic odpovídá průsečíkům čar.

Kónické plochy vznikají jako množiny bodů splňujících kvadratickou rovnici. V kartézských souřadnicích: kruh: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2; elipsa: (x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1; parabola: y = ax^2 + bx + c nebo x^2 = 4py; hyperbola: x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1. Obecně platí kvadratická forma a x^2 + b xy + c y^2 + d x + e y + f = 0.

V prostoru bývají souřadnice (x, y, z). Čáry a roviny se vyjadřují podobně, vzdálenosti a úhly se počítají v třírozměrném prostoru; čáry mohou mít parametrické r = r0 + t v a roviny n · (r - r0) = 0. Vektorové metody a skalární součin se často používají.

Použití spočívá v řešení geometrických problémů, fyziky, počítačové grafiky, strojírenství a robotiky. Koordinálogeometrie poskytuje spojení mezi geometrií a algebrou a umožňuje důkazy a algoritmická řešení metodami založenými na souřadnicích.