koordinaattifunktioiden

Koordinaattifunktiot ovat matemaattisia työkaluja, joita käytetään kuvaamaan sijaintia ja suuntaa vektoriavaruuksissa. Ne antavat tavan esittää vektoreita tietyn kannan avulla, mikä helpottaa laskentaa ja ymmärtämistä. Yksinkertaisesti sanottuna koordinaattifunktiot kertovat, kuinka monta yksikköä tiettyä kantavektoria tarvitaan tietyn vektorin muodostamiseksi.

Olkoon V k-ulotteinen vektoriavaruus ja B = {b₁, b₂, ..., b<0xE2><0x82><0x99>} sen kanta. Jokainen vektori v ∈ V voidaan esittää yksikäsitteisesti lineaarikombinaationa kannan vektoreista: v = c₁b₁ + c₂b₂ + ... + c<0xE2><0x82><0x99>b<0xE2><0x82><0x99>. Tässä kertoimet c₁, c₂, ..., c<0xE2><0x82><0x99> ovat vektorin v koordinaatit kannassa B. Koordinaattifunktiot ovat ne funktiot, jotka tästä lineaarikombinaatiosta poimivat nämä kertoimet. Jos määritellään koordinaattivektori [v]<0xE1><0xB5><0xA7> = (c₁, c₂, ..., c<0xE2><0x82><0x99>), koordinaattifunktiot voidaan nähdä projekteina, jotka kuvaavat vektorin v sen koordinaatteihin.

Esimerkiksi Euklidisessa avaruudessa ℝ² standardikanta on {(1,0), (0,1)}. Vektorin (x,y) koordinaatit tässä kannassa ovat x ja y. Koordinaattifunktiot olisivat tällöin funktiot, jotka antavat vektorin x- ja y-koordinaatit. Jos valitaan jokin muu kanta, koordinaattifunktiot muuttuvat vastaavasti. Koordinaattifunktioiden käyttö on olennaista monissa lineaarialgebran sovelluksissa, kuten muunnoksissa, yhtälöryhmien ratkaisemisessa ja geometrisissa ongelmissa. Ne tarjoavat systemaattisen tavan analysoida ja manipuloida vektoreita.