kontraktiivisuuden

Kontraktiivisuus (genitive kontraktiivisuuden) on matematiikassa käytetty termi, joka kuvaa sitä, että jokin rakenne siirtää tai puristaa etäisyyksiä kohdeavaruudessa. Yleisesti käsitettä käytetään mitattua tilaa (X, d) koskevissa kartoituksissa f: X → X, jossa on olemassa 0 ≤ k < 1 siten, että kaikille x, y ∈ X pätee d(f(x), f(y)) ≤ k d(x, y). Tällöin sanotaan, että f on kontraktiivinen ja sen kontraktiivisuus on k. Jos vastaava ehto pätee vain k ≤ 1 eikä k < 1 kaikille pareille, f on sen sijaan nimeämällä nonexpansive eli ei-laajentava.

Kontraktiivisuus on keskeinen käsite Banachin kiinteän pisteen teoreemassa. Jos X on täydellinen mitattu tila ja f on kontraktiivinen, niin f sisältää yksiselitteisen kiinteän pisteen eli p, jossa f(p) = p. Lisäksi alkiot x0 ∈ X voidaan terrierata toistuvasti f:llä x_{n+1} = f(x_n) johtamaan kohti tätä kiinteää pistettä.

Esimerkkejä: yksinkertainen lineaarinen esimerkki f(x) = c x R:llä, missä |c| < 1, on kontraktiivinen. Laajemmin, operaattori A hillittyyn tilaan, jonka op­eratorinen normi ||A|| < 1, on kontraktiivinen, sillä ||Ax − Ay|| ≤ ||A|| ||x − y||.

Kontraktiivisuus esiintyy myös numeerisissa ja dynaamisissa yhteyksissä, joissa se takaa konvergenssia ja vakautta, sekä suositellaan menetelmissä, joissa ratkaisut etsitään iteroituvasti kiinteän pisteen avulla.