kompleksnumre

Kompleksnumre er en udvidelse af de reelle tal, der introduceres for at muliggøre løsning af alle polynomielle ligninger. Et komplekst tal skrives generelt på formen a + bi, hvor 'a' er den reelle del, 'b' er den imaginære del, og 'i' er den imaginære enhed, defineret ved i^2 = -1. Tallet 'i' kan betragtes som kvadratroden af -1.

De reelle tal kan betragtes som en delmængde af de komplekse tal, hvor den imaginære del er nul. De komplekse tal kan visualiseres geometrisk som punkter i et todimensionelt plan, kendt som det komplekse plan, hvor den horisontale akse repræsenterer den reelle del og den vertikale akse repræsenterer den imaginære del.

Grundlæggende aritmetiske operationer som addition, subtraktion, multiplikation og division er defineret for komplekse tal. Addition og subtraktion udføres ved at kombinere de reelle og imaginære dele separat. Multiplikation følger distributionsloven, ligesom med reelle tal, men med hensyntagen til i^2 = -1. Division involverer ofte at multiplicere tæller og nævner med den konjugerede af nævneren.

Komplekse tal spiller en fundamental rolle inden for mange områder af matematikken, herunder algebra, analyse og geometri. De er også uundværlige i fysik og ingeniørvidenskab, især inden for områder som kvantemekanik, elektroteknik og signalbehandling. Fundamental sætning for algebraen fastslår, at enhver polynomium af grad n med komplekse koefficienter har præcis n komplekse rødder, hvilket understreger vigtigheden af komplekse tal for algebraisk problemløsning.