kommutaatioilla

Kommutoinnilla viitataan ilmiöön, jossa kahden operaation tai kahden alkion järjestyksen vaihtaminen ei vaikuta lopputulokseen. Binäärinen operaatio määrittää joukon S päällä siten, että a * b = b * a kaikille a,b ∈ S, jolloin operaatio on kommutatiivinen.

Esimerkkejä kommutatiivisuudesta ovat reaalilukujen yhteenlasku ja kertolasku: a + b = b + a ja ab = ba kaikille a,b. Sen sijaan yleinen matriisien kertolasku ei ole kommutatiivinen: AB ei välttämättä ole BA.

Grupiteoriassa ja algebran kontekstissa kommutaatio liittyy siihen, löytääkö kaksi elementtiä toistensa kanssa yhteisen suuntansa. Kommutatorin [a,b] = a^{-1} b^{-1} a b avulla voidaan mitata, kuinka paljon kaksi elementtiä eivät kommutoi. Jos [a,b] = e kaikille a,b, ryhmä on abeli. Keskus Z(G) sisältää kaikki elementit, jotka kommutoivat kaikkien kanssa.

Lineaarialgebrassa, jos tietyt operaattorit A ja B päällä ovat kommutatiivisia (AB = BA), ne voivat olla samaan aikaan diagonaalisia tietyin ehdoin, mikä helpottaa niiden spektrin tutkimista ja yhteisten ominaisuuksien laskemista.

Fysiikassa ja kvanttimekaniikassa kommutointi liittyy mittausten yhteiskäyttöön. Jos kaksi havaittavaa commutoivat, niiden arvot voidaan määrittää samanaikaisesti tarkasti. Epäcommuutointi johtaa epävarmuuteen ja rajoituksiin, kuten Heisenbergin epätarkkuusperiaatteeseen.