ketjukokonaisuutta

Ketjukokonaisuus on ketju tapauksessa, jossa on jono esineitä C_n ja elävät jokaisessa kohdassa boundary-nimisiä karttoja d_n: C_n → C_{n-1}. Yleisesti ketjukokonaisuus muodostetaan abelian kategorian, kuten abelian ryhmien tai R-moduulien, alaisuuteen. Eri tasot n ovat esineet C_n ja vuorovaikutukset d_n antavat rakenteen.

Jokaisella tasolla n on n-syklit Z_n, jotka ovat C_n:stä kaikki ne elementit, joiden kuva d_n on nolla. N-1-tason kuvat B_n ovat d_{n+1}(C_{n+1}) eli kaikki kuvat, jotka ovat jonkin (n+1)-tasolta tulevia kuvia. Ketjukokonaisuus määrittää homologiaalikanavan H_n(C) n:llä tarkoittaen Z_n:B_n-syklien modulo, eli H_n(C) = Z_n / B_n. Homologiset ryhmät ovat siis toisin sanottuna ne yhtälöryhmät, joilla eroja ja identiteettejä tarkastellaan sylkien avulla.

Morphisms ja kategoriallisuus: Ketjukokonaisuutta C ja D välillä on karttojen joukkio f_n: C_n → D_n, jotka ovat niin sanottuja ketjumappeja, eli ne säilyttävät rakenteen: d'_n ∘ f_n = f_{n-1} ∘ d_n. Ketjukokonaisuuksien luokka ja niiden homotopiat muodostavat oman kategoriansa; ketjukompleksit voivat olla samanaikaisesti myös toisiaan koskevien kavennusten kohteita.

Esimerkit: Tunnetuimpia esimerkkejä ovat simpliciaalisen kompleksin tai topologisen tilan singularien ketjukomodit. Cellular-chain complexit liittyvät CW-komplekseihin. Ketjukokonaisuus on keskeinen väline topologiassa, joten sen avulla voidaan määritellä homologia ja tutkia tilojen globaaleja ominaisuuksia.

Sovellukset: Homologian avulla voidaan mitata tilojen “reiät” ja erilaisten rakenteiden eroja. Ketjukokonaisuudet muodostavat pohjan monille derived-funktorien, pitkäaikaisista sarjojen ja spektraalisekvenssien sovelluksille sekä algebraattisille ja topologisille tulkintoille.