kardinálnitu

Kardinálnitu množiny, často označovanou jen kardinalita, je pojem z teorie množin, který vyjadřuje velikost množiny. Pro konečné množiny je kardinalita rovna počtu prvků. U nekonečných množin se pracuje s nekonečnými kardinalitami; nejzákladnější je kardinalita množiny přirozených čísel, kterou zapisujeme ℵ0 (aleph-nula). Kardinalita dvou množin je shodná, pokud mezi nimi existuje bijekce; pokud existuje injekce jedné množiny do druhé, říkáme, že první množina má menší nebo rovnou kardinalitu.

Příklady: kardinalita množiny {1,2,3} je 3. Kardinalita množiny ℕ je ℵ0. Kardinalita množiny reálných čísel je 2^ℵ0, často označována jako continuum. Cantorův důkaz ukazuje, že ℵ0 < 2^ℵ0, tedy množiny reálných čísel mají větší kardinalitu než množina přirozených čísel.

Kardinálnita se vyvažuje pomocí operací: sčítání a násobení nekonečných kardinalit splňuje pravidla, že pro nekonečné κ a λ platí κ+λ = max{κ, λ} a κ·λ = max{κ, λ}. Exponentiace je obecně složitější; například 2^ℵ0 je jedna z nejznámějších nekonečných kardinalit a souvisí s existencí množiny reálných čísel. Porovnávání kardinalit se provádí prostřednictvím injekcí a bijekcí; dvě kardinality jsou stejné, pokud lze mezi odpovídající množinami definovat bijekci.

Historicky zavedl pojem Cantor, který položil základy teorie množin a studoval vlastnosti nekonečných kardinalit, včetně vztahu mezi cardinalitou a continua a formuloval problémy související s kontinuitou.