bijekce

Bijekce (z lat. bijectio) je funkce f: A → B, která je současně injektivní i surjektivní. To znamená, že pro každý prvek A platí, že k němu existuje právě jeden obraz v B, a zároveň každý prvek B má přesně jeden předobraz z A. V praxi to znamená, že funkce mapuje množinu A na množinu B „rovnoměrně“ a bez zbytečných mezer.

Vlastnosti: Bijekce má inverzní funkci f^{-1}: B → A, která splňuje f^{-1}(f(a)) = a pro všechna a v A a f(f^{-1}(b)) = b pro všechna b v B. Proto lze bijekci jednoznačně otočit; obrázek a předobraz jsou si vzájemně jedinečné.

Kardinálnost a konečné množiny: Pokud existuje bijekce mezi A a B, pak mají A a B stejný počet prvků (stejnou kardinálnost). V případě konečných množin to znamená, že velikosti jsou stejné. Pokud A = B, pak je bijekce zároveň permutací množiny A a tvorba všech permutací se označuje Sym(A).

Příklady: f: Z → Z, f(x) = x + 1, je bijekce (inverzní je f^{-1}(y) = y − 1). f: N → N, f(n) = 2n, je injekce, ale není surjektivní, a proto není bijekce. Množiny {1,2,3} a {a,b,c} lze bijekčně propojit například tak, že 1↦a, 2↦b, 3↦c.

Použití: Bijekce slouží k definici stejného počtu prvků množin, k porovnávání kardinalit v teorii množin a v mnoha dalších odvětvích matematiky, například v algebře (isomorfismy často bývají bijekce zachovávající strukturu) a v kombinatorice (počet objektů často počítáme pomocí bijekcí).