itseadjointoja

Itseadjointoja viittaa useimmiten itseadjointisiin lineaarisiin operatorisiin Hilbertin tilassa. Lineaarinen operaatio T on itseadjointinen, jos sen adjointin T domainineen yhtä kuin T on, eli D(T) = D(T) ja T = T näillä yhdenmukaisilla ehdoilla. Käytännössä adjointi määrittelee erittelyn: <Tx, y> = <x, Ty> kaikille x ∈ D(T), y ∈ D(T). If D(T) on tiivis densa tila, tällöin adjointin olemassaolo on mielekäs käsite.

Finite- tai kompleksisessa tapauksessa itseadjointisuus on sama kuin matriisin A ollessa yhtä kuin sen konjugoitujen transpoosi A (A = A†). Tällöin matriisi on Hermitian, ja sen ominaisarvot ovat realisia sekä ominaisvektoreita voidaan valita ortonormaaleiksi. Sijoituslaitoksen mukaan itseadjointinen operaatio on diagonalisoitavissa unitaarisesti.

Spektrin ja funktionaalisen laskennan näkökulmasta itseadjointiset operatorit nauttivat erityisestä asemasta: niiden spektrin teoreema (spectral theorem) mahdollistaa operatorin ilmaisemisen projektiosignaaleina. Tämä tarjoaa tavan määritellä funktioiden f(T) sekä tarkentaa, miten havainnollistetaan mittauksia ja observable-ominaisuuksia kvanttimekaniikassa. Positiiviset itseadjointiset operatorit (⟨Tx, x⟩ ≥ 0 kaikille x) sallivat neliöjuuren ja muita funktionaalisia operaatioita.

Eroa toisistaan ovat itseadjointit ja symmetriset operatorit: kaikki itseadjointiset ovat symmetrisiä, mutta symmetrinen operaatio ei välttämättä ole itseadjointinen, jos sen domaineja ei ole määritelty identtisesti. Esimerkkejä ovat eräät differentiaali-operatorit ilman tarkkoja raja-arvojen ehtoja. Käytännön sovelluksissa itseadjointisuus on keskeinen ominaisuus sekä matematiikassa että fysiikassa, erityisesti kvanttimekaniikassa havaittavien mittaustulosten yhteydessä.

---