itération

L’itération est l’action de répéter une opération ou un ensemble d’opérations dans le but d’obtenir une progression ou une approximation d’une solution. En pratique, elle consiste souvent à appliquer une fonction à sa propre sortie, générant ainsi une suite d’éléments appelée orbite.

En mathématiques, on dénote x_{n+1} = f(x_n) avec un x_0 donné. La suite {x_n} est destinée à converger vers un point fixe x*, tel que f(x*) = x*. Les méthodes itératives visent donc à obtenir ce point par progression successive.

Différence avec la récursion: l’itération se réalise par des boucles répétitives et ne nécessite pas de récurrence de piles d’appels; la récursion résout un problème en se référant à elle-même via des appels imbriqués.

Applications: résolution d’équations non linéaires (méthodes du point fixe, Newton-Raphson, méthodes itératives linéaires comme Gauss-Seidel et Jacobi), estimation numérique, optimisation itérative et modélisation de systèmes dynamiques. Un exemple classique est x_{n+1} = (x_n + a/x_n)/2 pour approcher √a.

Convergence et critères d’arrêt: une itération converge sous certaines conditions (par exemple f est contraction). On emploie des tolérances ε et des critères de variation, tels que |x_{n+1} − x_n| < ε, ou |f(x_n) − x_n| < ε.

En informatique, l’itération se met en œuvre par des structures de contrôle comme for et while pour répéter des étapes jusqu’à ce qu’un objectif soit atteint.