isometrioihin

Isometrioihin viittaamalla tarkoitetaan matemaattisia kuvaajia, jotka säilyttävät etäisyydet. Olipa kyseessä pistejoukko X ja kuvaus f: X → Y mittaustiloissa (X, d_X) ja (Y, d_Y), isometria täyttää d_Y(f(x1), f(x2)) = d_X(x1, x2) kaikille x1, x2 ∈ X. Tällainen kuvaus säilyttää sekä etäisyydet että muodon, ja kuvatut kappaleet ovat alkuperäiseen konruenteja.

Isometrioita tutkitaan sekä yleisessä mittaustilassa että erityisesti Euclidean-tiloissa. Yleisesti isometria on injektio, koska jos f(x) = f(y), niin d_X(x,y) = d_Y(f(x), f(y)) = 0, jolloin x = y. Surjektivisuus ei automaattisesti kuulu määritelmään.

Euclidean-tiloissa R^n kaikki isometrioiden kuvat ovat muotoa f(x) = Ax + b, missä A on ortogonaalinen matriisi (A^T A = I) ja b ∈ R^n. Tämä muodostus koostuu kiertojen ja heijastusten sekä siirtojen yhdistelmästä. Jos det(A) = +1, muunnos on orientaation säilyttävä (pyöritys), ja jos det(A) = -1, muunnos on orientaation muuttava (heijastus tai sen yhdistelmä).

Isometrioita käytetään yleisesti kappaleiden kongruenssin määrittämiseen ja tilojen symmetrioiden tutkimiseen. Ne ovat keskeisiä myös krystallografiassa, robotiikassa, tietokonegrafiikassa sekä geometriassa ja arkkitehtuurissa, missä halutaan säilyttää muoto ja mittasuhteet liikuttaessa tai peilipohjaisissa muutoksissa.