integraalilausekkeita

Integraalilauseke on matemaattinen lauseke, joka sisältää integraalimerkin ∫ ja siihen liittyvän integraation kohteena olevan funktion. Integraalilausekkeet voivat olla epämääräisiä integraaleja, joiden tulos on antiderivaatio F(x) + C, tai määrättyjä integraaleja, joiden rajoina ovat luvut a ja b ja jonka arvo vastaa esimerkiksi alueen pinta-alaa, kertymää tai muuta suureen kokonaismäärää.

Notaatio ja esimerkit ovat keskeisiä. Tyypillisiä esimerkkejä ovat ∫ f(x) dx (epämääräinen integraali) ja ∫_a^b f(x) dx (määrätty integraali). Muuttuja on usein x, ja dx ilmaisee integroidun muuttujan. Muita yleisiä muotoja ovat esimerkiksi ∫_a^∞ f(x) dx.

Ominaisuudet ja menetelmät. Integraalilausekkeiden tutkimuksessa korostuvat lineaarisuus ∫(αf + βg) dx = α∫f dx + β∫g dx, sekä tekniikat kuten muunnokset (substituutio) ja osien erotus (integraatio by parts). Monien funktioiden integraali voidaan ratkaista analyyttisesti, mutta joillekin funktioille ei ole elementaarista antiderivaatioa; tällaisia käytetään usein erffunktiota tai suoritetaan numeerisesti (esim. trapezio, Simpsonin sääntö tai Gaussin quadrature).

Käyttö. Integraalilausekkeita sovelletaan alueiden pinta-alojen ja kertymien laskemiseen, työ- ja energianlaskuihin fysiikassa, todennäköisyyslaskentaan sekä taloustieteellisiin ja teknisiin sovelluksiin. Ne ovat keskeinen osa calculusin perusrakennetta ja sen sovellusten perustaa.