idfüggvény

Az idfüggvény (angolul *indicator function*, vagy *characteristic function*) a matematika, különösen a mértani analízis és a valószínűségszámítás területén használt fogalom. Az idfüggvény egy halmazra definiált, értéke 0 és 1 közötti értéket vevő függvény, amely egy adott pontnak azt jelzi, hogy tartozik-e a halmazhoz. Formálisan, ha *A* egy halmaz, akkor az *A*-ra vonatkozó idfüggvényt a következőképpen írhatjuk le:

1_A(x) =

{

1, ha x ∈ A;

0, ha x ∉ A.

}

Az idfüggvény gyakran használatos a Lebesgue-integrál és a valószínűségi mérték definícióiban, ahol segít megkülönböztetni a halmaz elemeit és nem-elemeit. Például, ha *f* egy függvény, és *A* egy halmaz, akkor az *f* integrálja *A*-on a következőképpen kifejezhető az idfüggvény segítségével:

∫_A f(x) dx = ∫_ℝ f(x) *1_A(x) dx.

Az idfüggvény használata egyszerű és hatékony a halmazok és függvények közötti kapcsolatok leírására. A valószínűségszámításban az idfüggvény segít megfogalmazni valószínűségi eseményeket, például egy valószínűségi változó *X* valószínűségét egy adott értékre:

P(X = x) = E[1_{X=x}(X)].

Az idfüggvény fontos szerepet játszik a Fourier-analízisben és a spektrális elméletben is, ahol segít a függvények spektrális tulajdonságainak vizsgálatában. Az idfüggvény általánosításai, mint például a Boole-függvények, szintén fontosak a logika és az algoritmuselmélet területén.