halvåpne

Halvåpne mengder (semiseksjons, på engelsk: semi-open sets) er et begrep innen topologi. I et topologisk rom X beskrives en mengde A ⊆ X som halvåpen hvis A er underliggende i lukningen av dens innside: A ⊆ Cl(Int(A)). Her brukes Int(A) for indre del av A og Cl(B) for lukningen av B i det aktuelle topologiske rommet.

Grunnleggende egenskaper:

- Åpne mengder er alltid halvåpne, fordi Int(A) = A for åpne A, og dermed Cl(Int(A)) = Cl(A) ⊇ A.

- Tom mengde og hele rommet X er halvåpne.

- Ikke nødvendigvis en topologi: Mengder som er halvåpne er ikke lukket under generell snitt, og derfor danner de ikke en topologi. De er derimot lukket under uendelig sammenslåing: hvis A_i er halvåpne for alle i, så er ∪_i A_i halvåpen, fordi ∪ A_i ⊆ Cl(Int(∪ A_i)) = Cl(∪ Int(A_i)).

Eksempel i R med standard topology: For en halvtåpen fase [a, b) er Int([a, b)) = (a, b) og Cl(Int([a, b))) = [a, b], så [a, b) er halvåpen. Som kontrast kan man merke at et lukket punkt som {1} i R ikke er halvåpen, siden Int({1}) = ∅ og Cl(Int({1})) = ∅, mens {1} ikke er ⊆ ∅.

Halvåpne mengder gir en måte å beskrive mellomrom mellom åpne og lukkede mengder og brukes i studier av egenskaper mellom toppologier og beslektede begreper.