hajottamismenetelmiä

Hajottamismenetelmät ovat numeerisia ratkaisutapoja, joissa monimutkainen ongelma jaetaan useampaan yksinkertaisempaan osaan, joita voidaan käsitellä erikseen tai vuorotellen. Tyypillisesti ongelma voidaan esittää muodossa A = A1 + A2 + …, jolloin kukin osa A_i kuvaa erilaista vaikutusta tai toimintoa. Tämä lähestymistapa on yleinen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden, suurten lineaaristen tai ei-lineaaristen järjestelmien sekä tietyissä optimointi- ja tilastollisissa tehtävissä.

Ratkaisuprosessi koostuu osien ratkaisemisesta vuorotellen tai erillisinä ratkaisuina siten, että kokonaisuus vastaa alkuperäistä ongelmaa. Tunnetuimpia esimerkkejä ovat Lie-hajotus ja Strang-hajotus. Lie-hajotus on ensimmäisen kertaluvun tarkkuudella toteutuva menetelmä, joka ratkaisee ensin A1:n ja sitten A2:n vuorotellen. Strang-hajotus on toisen kertaluvun tarkkuutta tarjoava symmetrinen menetelmä: ratkaisu toteutetaan niin, että puolet A1:stä sekä puolet A2:sta ratkaistaan vuorotellen ja lopuksi toisen puolikkaan A1:stä. Muita yleisiä hajottamismenetelmiä ovat ADI-menettelyt (alternating direction implicit) sekä Douglas–Rachford- ja Peaceman–Rachford-hajotukset, joita käytetään sekä lineaarisissa että monotoneihin operaatioihin liittyvissä ongelmissa.

Sovelluskohteita ovat erityisesti aikadifferentialiyhtälöt, reaktio–diffuusio -yhtälöt sekä suuret optimoimis- ja laskentatehtävät. Hajottamismenetelmät voivat tarjota tehokkuutta ja vakaata etenemistä, kun osien ratkaisut voidaan suorittaa joustavasti ja erikoisluonteisesti. Kahden huomioitavan rajoituksen vuoksi hajottamisvirheet voivat kerääntyä, ja konvergenssi riippuu osien ominaisuuksista sekä valituista askel- ja hajotusmenetelmistä.